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高中数学任意角的三角函数定义

高中数学任意角的三角函数定义

高中数学必修四：高二数学任意角和弧度制知识点总结

1.任意角

(1)角的分类：

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(2)终边相同的角：

终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z).

(3)弧度制：

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|=，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关.

④弧度与角度的换算：360°=2π弧度；180°=π弧度.

⑤弧长公式：l=|α|r，扇形面积公式：S扇形=lr=|α|r2.

2.任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数定义：

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y，cosα=x，tanα=，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.

(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

3.三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα=OM，sinα=MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.

三角函数简介：

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。